[공평 분배] 싸우지 않고 케이크를 나눠 먹는 방법

(이 글은 "이토록 재미있는 수학이라니" 책의

 "싸우지 않고 케이크를 나눠 먹는 방법" (공평분배) 편에 대한 것입니다.)

 

어느 절에 승려 세 명이 있었습니다.

한명은 통통하고, 한 명은 키가 크고, 마지막 한 명은 키가 작았습니다.

이 세명의 승려에게 케이크가 주어졌는데, 케이크를 공평하게 나누는 장면을 설명하는 것입니다.

이들은 평소에 매우 이기적이어서 조금도 손해를 보려하지 않습니다.

어느 날 물이 많이 부족해서 밥도 먹지 못하는 상황, 승려들은 굶주림에 매우 허기진 상황이었습니다.

지나가던 행인이 우연히 이 세 승려가 있는 절에 방문하게 되었고 절에서 하루를 묵게 되었습니다.

행인이 이 절의 상황을 보고 케이크 하나를 승려들에게 주고 나눠 먹으라고 했습니다.

 

그림 출처 : 이토록 재미있는 수학이라니 책 속

세명의 승려는 케이크를 나눠먹기 위해 논쟁하기 시작했고, 서로는 손해보지 않으려 고집을 피웠습니다.

그러자 행인이 좋은 방법이 있다고 말하며 싸움을 말렸습니다.

 

"키 작은 승려가 먼저 와서 이 케이크를 세 조각으로 나누세요.

 그런데 기억해야 할 것은 다른 두 사람이 선택한 후에 최후에 남은 한 주각이 당신 것이라는 거예요.

 그래서 당신이 케이크를 자를 때 최대한 동일한 양으로 잘라야 해요"

 

행인이 통통한 승려에게

"만약 당신이 첫 번째로 선택한다면 어느 조각을 선택하고 싶나요?

  천천히 골라요.

  당신은 이제 남은 두 조각을 가져갈 수 없어요"

통통한 승려는 바로 커 보이는 조각을 선택했습니다. 

행인이 통통한 승려에게 커 보이는 조각을 잘라, 세 조각이 완전히 동일하게 만들라고 했고, 

커 보이는 조각에서 케이크를 잘라내어 완전히 같아지도록 만들었습니다.

 

행인은 키 큰 승려에게 키 작은 승려게 나눈 세 조각 중 아무거나 선택을 하라고 했습니다.

키 큰 승려는 자기 생각에 제일 마음에 든 것을 선택했습니다.

 

이제 키 작은 승려에게 남은 한 조각을 가져가라고 했습니다.

키 작은 승려에게 돌아간 케이크는 키 작은 승려가 직접 나눈 것입니다.

뿐만 아니라 키 작은 승려가 세 조각 모두 크기가 같도록 나누었기 때문에 마지막 남은 조각을 선택했더라도

키 작은 승려가 나눈 것이기 때문에 불만이 없다고 행인이 말했습니다.

 

승려 세명의 생각은 다음과 같았습니다.

통통한 승려 생각 :

1라운드에서 통통한 승려가 가져가서 조금 베어냈던 케이크는 키 큰 승려가 가져간 케이크와 크기가 같고,

키 작은 승려 것과 비교해도 통통 승려 것이 더 마음에 든다고 생각했습니다.

2라운드에서도 통통한 승려가 제일 먼저 선택을 했기 때문에

다른 두 승려가 가져간 것보다 당연히 크다고 생각했습니다.

키 큰 승려 생각 :

1라운드에서 제일 먼저 키 큰 승려가 선택했기에 제일 크다고 생각했습니다.

2라운드에서는 키 큰 승려가 나눴고 완전히 똑같이 나눴다고 생각했습니다.

어쨌든 다른 두 명보다 큰 조각을 가져갔다고 생각했습니다.

그러므로 결과에 만족한다고 생각했습니다.

키 작은 승려 생각 :

1라운드에서 키 작은 승려가 나눈 것을 자신이 가져왔기 때문에

다른 두 명이 가져간 케이크의 크기와 같다고 생각했습니다.

그런데 통통 승려가 제일 크다고 생각한 조각에서 조금 베어내어 추가된 조각까지도 가져왔기 때문에

통통한 승려보다 더 큰 조각을 가져왔다고 생각했습니다.

 

결론

신기하게도 세 승려 모두 자기가 가진 것이 다른 사람 것에 비하여 더 큰 것을 가져왔다고 생각했습니다.

그래서 세 승려 모두 만족했고 행인도 아주 원만하게 문제를 해결했습니다.

이 이야기는 셀프리지-콘웨이 분할 절차를 재구성하였다고 합니다.

이 절차는 "질투 없는"의 목표가 실현가능하다는 것을 보여 준다고 합니다.

 

셀프리지 콘웨이 분할 절차

1993년 영국의 수학자 존 호턴 콘웨이(John Horton Conway)는 독립적인 해법(생명게임 : CGOL : Conway's Game of Life)을 발견했습니다. 신기한 것은 케이크를 공평하게 나누는 방법을 발견한 수학자 이름이 모두 John이라는 것입니다. 그리고 그들은 모두 정식 발표를 하지 않고 비공식적으로 교류를 했다는 것입니다. 그러나 그 이후에는 일반 과학 및 전문적인 학술 기수에서 셀프리지 콘웨이 분할 절차를 언급하고 있습니다.  현재에 이르러 이 방법은 두 수학자의 성을 따서 "셀프리지 콘웨이 분할 절차"라고 합니다.