[내접정사각형문제] 조르당 곡선에서 정사각형을 찾아라

(이 글은 "이토록 재미있는 수학이라니" 책의

 "조르당 곡선에서 정사각형을 찾아라" (내접정사각형문제) 편에 대한 것입니다.)

 

'조르당 곡선'이란 시작점과 끝점이 같은 곡선을 펜을 떼지 않고 한 번에 이어서 그린 곡선입니다.

예전 한붓그리기가 생각납니다.

조르당 곡선은 한붓그리기에 더 나아가 한번 지나간 지점은 다시는 지나지 않는 것입니다.

 

그림 출처 : dongascience.com

1911년 독일의 수학자였던 오토 퇴플리츠는 조르당 곡선을 생각하다가 다음과 같은 질문을 했다고 합니다.

그림 출처 : dongscience.com

조르당 곡선은 항상 정사각형의 꼭지점을 이루는 네 점을 가지고 있을까?

즉 조르당 곡선은 항상 정사각형을 이루는 네 점을 가지고 있을까?

 

퇴플리츠가 이러한 문제를 냈을 때, 수학자들은 이 문제가 쉽다고 생각했습니다.

하지만 지금까지도 이 문제는 미해결상태입니다.

그만큼 어려운 문제라는 것이지요.

문제 자체는 너무 이해하기 쉽습니다. 하지만 답은 아무도 모르고 있습니다. 참 신기합니다.

 

미국의 수학자 월터 스트롬퀴스트는 1989년 조르당 곡선이 "충분히 예쁘게 생겼다면" 

정사각형의 꼭지점을 이루는 네 점이 반드시 있다는 것을 증명했다고 하는데요.

수학자가 쓴 단어가 "충분히 예쁘게 생겼다면"이라는 것이 좀 이상합니다.

설명하기로는 곡선 위의 각각의 점에서 좌표계를 잘 잡으면

그 점 근방에서는 그 곡선이 어떤 증가함수 f(x)의 그래프로 나타난다는 뜻이라고 합니다.

 

결과가 나왔는지는 모르겠으나, 월터가 내놓은 결과로 '문제를 거의 다 푼 게 아니냐'라고 생각할 수 있습니다.

다른 분석가들의 말로는 위의 말이 틀린 것으로 보입니다.

평면에 연속함수로 그림을 그린다고 하더라도 항상 원하는 만큼 예쁘게 생겼다고 보장하기 어렵답니다.

곡선 중에는 또 조르당 곡선은 매우 신기한 성질을 가지고 있는 것도 있기 때문에

당연해 보이는 것도 수학적으로는 증명이 너무 까다롭습니다.

 

조르당 곡선을 처음 증명했다고 알려진 프랑스의 수학자 카미유 조르당은

1887년 증명한 사항은 틀렸고, 그 후에 다른 사람이 증명한 사항만 옳다는 이야기도 떠돌았습니다.

2007년 미국 수학자 토마스 헤일스가 직접 조르당의 증명을 살펴보았다고 하는데요

헤일스가 조르당의 증명을 봤을 때 틀린 게 없다고 말했다고 합니다.

여전히 조르당의 증명에 대해서는 반드시 옳다고 말하기가 참 어렵습니다.

그만큼 조르당 곡선 정리를 증명하고 검증하는 것은 매우 어렵습니다.

 

조르당 곡선 정리는 워낙 중요해서 그 이후에 많은 수학자들이 다양한 방식으로 증명했고,

그 증명도 완벽하게 확인하기 위해

2007년 헤일스가 이끄는 연구팀은 사람이 아닌 컴퓨터가 확인할 수 있는 증명을 만들기도 했다고 합니다.

 

조르당 곡선의 넓이는 얼마나 될까요?

곡선이 만드는 내부의 넓이가 아니라 곡선 자체의 넓이는 얼마나 될까요?

곡선이 폭은 0이므로 당연히 0이라고 생각할 것입니다.

하지만 조르당 곡선의 일졸인 '오스굿 곡선' 위의 점을 다 모르면 상식과 다르게 넓이가 0보다 큽니다.

 

그림 출처 : donascience.com

조르당 곡선의 일종인 오스굿 곡선 위의 점들을 모아 넓이를 구하면 0보다 크게 됩니다.

 

조르당 곡선에 관한 문제는 어떤 것은 쉽게 증명되고 어떤 것은 아직도 증명이 되지 않고 있습니다.

위의 내접 정사각형 찾는 문제는 여전히 증명이 되지 않고 있습니다.

하지만 내접 직사각형 찾는 문제는 이미 오래전에 증명되었습니다.

내접 직사각형 찾는 문제는 미국의 수학자 도로시 본이 위상 수학의 방법을 이용하여 증명했다고 합니다.

 

그럼 정사각형이나 직사각형 문제 말고 다른 사각형은 어떨까요?

원 역시 조르당 곡선이므로, 만일 임의의 조르당 곡선 위에 어떤 사각형의 네 꼭짓점이 동시에 있을 수 있다면

그 사각형은 반드시 원에 내접하는 사각형이어야 합니다.

그러면 반대로 원에 내접하는 사각형을 잘 확대 또는 축소해서

임의의 조르당 곡선 위에 꼭지점 네 개를 항상 있게 할 수 있을까요?

이 문제 역시 대부분 해결되지 않고 있답니다.

 

위의 경우처럼 문제에 대해 이해하기는 너무 쉬우나 

그러한 문제들이 미해결인 흥미로운 문제가 많이 있습니다.

아직 아무도 생각하지 않은 더 재미있는 좋은 문제를 만들어보고 풀려고 생각해 보면 어떨까요?