[메르센 소수] 외계인이 지구인과 대화를 한다면 어떻게 소통할 수 있을까?

 

(이 글은 "이토록 재미있는 수학이라니" 책의

 "수학에서 보석을 캐다" (메르센 소수) 편에 대한 것입니다.)

 

만약 외계인이 지구인과 대화를 한다면 어떻게 소통할 수 있을까?

저자는 이렇게 생각했습니다.

돌을 하나씩 가져와서 2개, 3개, 5개, 7개, 11개, 13개... 이렇게 둘 것이라고 합니다.

여기에서 외계인의 수학 수준이 충분히 높다면(?) 그다음에 두는 돌의 개수를 알 수 있겠지요?

17개입니다.

(지구에 온 외계인은 당연히 지구의 수학이나 과학 수준 정도는 이미 알고 있다고 가정했습니다.)

 

여기에서 나오는 수가 메르센 소수(Mersenne number)입니다.

메르센 수는 2의 거듭제곱 수에 1을 뺀 수이고, 

메르센 소수는 메르센 수 중에서 소수인 수입니다.

 

마랭 메르센 [위키백과]

참고로 마랭 메르센, 1588년 ~ 1648년, 프랑스의 철학자이자 물리학자, 수학자 였습니다.

프랑스의 Oize 태생으로 라플레슈의 예수회 대학교에 입학하였고, 르네 데카르트를 만났고,

그 이후에 갈릴레오 갈릴레이, 에반젤리스타 토리첼리 등과 교류하였습니다.

수많은 학자와 서신 교환을 통해 연구 성과를 공유하였고, 학문 발전에 크게 이바지 했습니다.

완전수 및 메르센 소수 등 연구를 통하여 정수론 분야에서 중요한 업적을 남겼습니다.

 

다시 돌아와서,

최근 몇 년 동안 기본적으로 매 1년 ~ 3년마다 새로운 메르센 소수가 발견되었다고 합니다.

2018년 12월에 51번째로 발견된 메르센 소수는 2^82589933-1입니다.

이 수는 2400만 자리 이상으로 알려져 있다고 합니다.

 

메르센 소수는 위 마랭 메르센에서 이름을 따온 것입니다.

그런데, 마랭 메르센이 메르센 소수를 만든 사람도 아니고, 메르센 소수를 가장 많이 발견한 사람도 아니라고 합니다.

그렇다면 왜 메르센 소수일까요?

메르센이 이 소수를 체계적으로 연구했고, 작은 수부터 시작해서 257까지의 메르센 소수를 구했기 때문이라고 합니다.

(하지만, 메르센이 찾은 것 중에서 두 개는 소수가 아닌 것으로 확인되었고, 세 개의 소수를 빠뜨렸다고 합니다.)

 

메르센이 사용한 식을 보면 메르센이 소수를 구할 때 사용한 식을 볼 수 있습니다.

아쉬운 점은 메르센이 어떻게 소수를 검증했는지는 알 수 없었습니다.

메르센은 검증 방법에 대한 어떠한 기록도 남기지 않았습니다.

어쩌면 메르센 역시 그의 방법에 대해 확신이 없었는지도 모릅니다.

 

메르센 소수 목록

...

현대에서는 어떻게 위의 메르센 소수를 찾을 수 있을까요?

아마 모두가 비슷한 예상을 할 것입니다.

대용량 컴퓨터를 이용하는 것입니다.

1997년부터 발견된 수많은 메르센 소수는 모두 어떤 프로젝트에 의해 발견했다고 하는데요, 이 프로젝트는 줄여서 "김프스 GIMP" 프로젝트라고 합니다. 그 의미는 Great Internet Mersense Prime Search (수십만 대의 Personal 컴퓨터를 통합하여 초대형 메르센 소수를 찾기 위한 프로젝트)입니다.

 

개개인은 모두 GIMS 프로젝트에 자발적으로 참여할 수 있습니다.

소프트웨어는 누구든지 다운로드하여서 본 프로젝트에 참여할 수 있다고 합니다.

(그런데 더 큰 메르센 소수를 찾게 되면 위키피디아에 이름이 들어가겠지요. 수학자로서 말이지요.)

50번째 메르센 소수는 미국의 택배기사가 교회에 묵혀있는 오래된 컴퓨터를 이용하여 십수 년 동안 이 프로젝트의 프로그램을 돌려서 발견한 것이라고 합니다.

 

메르센 소수 [그림 출처 : hani.co.kr]

자릿수가 2323만 9425개나 된다고 합니다.

이 소수를 다 적으려면 6000 자릿수를 한 페이지에 빼곡하게 쓰더라도 무려 875 페이지나 필요하다고 합니다.

 

이에 앞서 49번째 메르센 소수는 2016년 1월에 발견되었고, 2를 74,207,281번 거듭제곱하고서 1을 뺀 수입니다.

이번에 발견된 50번째 메르센 소수는 14년 동안 더 큰 소수를 찾아온 미국 전기 기술자 조너선 페이스가 발견한 것입니다. (이 발견으로 김프스 단체에서 상금 3000달러를 받았다고 합니다.) 공식적인 발견 선언 이전에 여러 프로그램을 이용하여 발견된 숫자가 소수임이 맞는지 아닌지를 컴퓨터 연산을 통해 확인하는 과정을 거쳤다고 하는데요, 이 과정도 꼬박 엿새가 걸렸다고 합니다.