[소파상수] 과학적으로 소파 옮기기

(이 글은 "이토록 재미있는 수학이라니" 책의

 "과학적으로 소파 옮기기" (소파상수) 편에 대한 것입니다.)

 

소파상수라고 하니깐 궁금해할 수 있습니다.

그냥 집에 있는 소파를 이동할 때 꺾어진 부분에서의 이동할 때 쓸려고 했던 

과학적인(?) 상수입니다.

사실 저도 얼마전에 과학적으로(?) 생각을 많이 했었습니다.

집에 오래된 소파가 거실 중앙에 있었습니다.

집에 들여올 때는 아주 좋았지요. 그리고 제가 옮긴 것이 아니라서 배달하시는 분들이 다 알아서 해 주시니깐.

하지만 쇼파를 버리려고 고민하니깐 그게 여기저기에서 집을 빠져나갈 수 있을지가 고민이 되었습니다.

저의 집은 참고로 아파트 최상층, 집 구조 상 거실에 기둥이 있고요,

전실(아파트 현관 앞)이 꺾어져 있습니다. (사생활 보호 차원이지요)

소파는 4인용으로 대략 3미터 남짓 되는 것 같았습니다.

이런 소파를 어떻게 거실을 빠져나가게 하고, 꺾인 전실과 현관을 나가게 하고

마지막으로 엘리베이터를 태우고 내려야 할까요?

(사실 성공했습니다.)

 

저자가 문제에 대한 해결방법 하나를 제시했습니다.

"협소한 통로에 있는 소파를 옮기려는 데 코너에 막혀서 이러지도 저러지도 못한 경험이 있는가?

 이럴 때면 우리를 지켜보고 있는 거인이 소파를 살짝 들어 옮겨주었으면 하는 엉뚱한 생각이 든다.

 하지만 현실에서는 용을 쓰다 지쳐서 소파를 돌려놓을 수밖에 없다."

 

그림출처 : 책 속에서

저자는 이 문제에서 몇가지 생각해 볼 것이 있다고 합니다.

첫 번째로 이 문제는 2차원 평면 상에서 복도의 높이는 생각하지 않는다고 합니다. 

소파를 들어 올리는 상황은 고려하지 않고 바닥에 붙여서 이동만 합니다.

두 번째로 복도의 길이와는 무관하다고 가정합니다. 

세 번째로는 직각 모서리(저의 집 같은 경우에는 꺾어진 전실) 코너를 통과할 때

소파의 최대면적-"소파상수" 값은 이미 알려진 것이 있다고 정의합니다.

(이미 오래전에 소파가 있어서 수학자들이 많이 고민을 했다고 합니다.)

 

그림 출처 : 책 속에서

문제 정의는 되었습니다.

저처럼 모서리 코너를 통과하는 상황은 무조건 있기 때문에, 이 소파상수의 하한은 분명히 있을 것입니다.

반면에 임의의 큰 소파는 코너를 통과할 수 없겠지요.

이 경우 가늘고 긴 (꺾여지지 않는) 막대기라 하더라도 코너를 통과할 수 없겠습니다.

 

모서리를 통과할 때 평행이동도 하고 회전이동도 이용하겠지요.

1968년 심심한 수학자 존 해머즐리는 해머즐리 소파라는 방법을 고안했습니다.

소파의 모양이 아치형 다리처럼 생겼고 양쪽 끝부분은 반지름이 1인 부채꼴 모양으로 가정합니다.

다리 부분은 가로가 4/pi 세로 1인 직사각형에서 반지름이 pi/2 인 반원을 잘라낸 것입니다.

양쪽 부채꼴의 면적의 합은 pi/2이고, 여기에 다리 부분 면적 2/pi를 합하면 전체 면적은 pi/2+2/pi 약 2.2074에 해당한다고 합니다. 이 값은 면적 1.57 보다 큰 값입니다.

 

여기에 좀 더 심심한 수학자가 가세했습니다.

1992년 미국의 수학자 조제프 게르버는 

 

게르버소파

게르버 소파라는 좀 더 큰 모양의 소파모형을 발견했습니다.

게르버 소파는 18개 곡선으로 구성되어 있고 앞서 나온 해머즐리 소파와 생김새가 매우 유사합니다.

게르버가 고안한 소파는 해머즐리 소파와 굉장히 유사하지만 18개의 곡선으로 구성되어 있습니다.

아주 복잡하게 들릴 수 있겠지만 이 도형은 좌우 대칭으로 비교적 간단합니다.

각 측면에 10개씩의 곡선(양쪽이 두 개의 곡선을 공유합니다.)으로 이루어져 있고,

그래서 10개의 곡선과 해머즐리 소파의 양끝 부채꼴 모양이 많이 닮았는데

원래 직선이던 부분이 원주 위의 호 부분으로 약간 수정된 것처럼 보입니다.

게르버가 고안한 이 소파는 "부분적 최적화법"이라는 방법으로 모서리를 통과한다고 합니다.

부분적 최적화법이라고 하니깐 매우 신기하게 들릴 수 있겠지만

우리는 평소에 이러한 방법으로 모서리 부분에 소파를 통과할 때 이러한 방법을 사용합니다.

 

어떤 물건이 모서리에 막혀 움직일 수 없을 때, 우리는 어떻게 할까요?

분명히 먼저 어디에서 막혔는지 확인합니다.

잠시 멈추고 어느 부분이 여유가 있는지 찾아내게 됩니다.

회전을 하든 평행이동을 하든 (모서리에서 막힌 부분은 더 이상 들어갈 수 없는 부분입니다.)

모서리를 빠져나가기 위해 소파를 모서리 밖으로 조금씩 조금씩 빠져나가게 합니다.

이것이 바로 "부분적 최적화법"입니다.

 

아파트 주차장에 세워둔 차를 시동을 걸고 빠져나갈 때도 비슷합니다.

옆에 주차된 차가 없으면 그냥 가면 됩니다.

하지만 자동차 진행방향이나 옆에 차들이 있을  경우에는

위와 같은 부분 최적화법으로 빠져나갑니다.

출차하는 도중에 차에서 내려서 공간을 보고 다시 조금 이동하고.. 그렇게 시도를 하게 됩니다.