행렬

1. 개요

행렬이란 행과 열로서 배열된 수들의 직사각형 또는 정사각형적 배열입니다.

각 열들의 길이를 n라고 할 때 이들의 길이는 서로 같고 각 행들의 길이를 m이라고 한다면 이들의 길이도 서로 같습니다.

그러나 각 행 m과 열 n의 값이 꼭 같아야 할 필요는 없습니다. 

m번째 행, n번째 열에 있는 원소를 a-mn 나타내고 행렬 A가 m개의 행과 n개의 열을 갖는다면

행렬 A은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

그림 출처 : wiki-pedia

 

첫 번째 행에서 3개의 점은 원소가 a11, a12, a13에서 연속적으로 a13까지 이어지고

그런 후에 다시 a1n 까지 이어짐을 의미합니다.

열에 표현된 점들도 같은 의미를 갖습니다.

위와 같이 행렬을 표현하면 그 행렬에 속한 모든 원소나 그 행렬의 크기 등을 명확하게 나타낼 수 있습니다.

행렬을 보다 간단히 나타내는 표현으로

  A = {amn} , 단 m=1, 2, 3,,..., n=1,2,3,...

이 있습니다.

 

amn은 mn 번째 원소라고 부르며 첫번째 첨자는 그 원소가 있는 행을 의미하고 두 번째 첨자는 그 원소가 있는 열을 의미합니다. 그러므로 a23 은 두 번째 행, 세 번째 열에 있는 원소를 의미합니다.

행렬의 크기, 즉 행과 열의 수는 그 행렬의 차원 또는 차수라고 합니다.

그러므로 m개의 행과 n개의 열을 갖는 행렬 A는 m x n의 차원을 갖습니다.

행렬은 그 행렬의 차원을 나타내기 위해 종종 A mxn 이라고 씁니다.

 

2. 행렬의 형태

행렬의 연산에서 자주 사용하는 기본적인 몇가지 형태가 있습니다.

1) 정방행렬 (square matrix)

행과 열의 개수가 같은 n x n 행렬을  n차 정방행렬이라고 합니다.

정방행렬에서 행렬의 왼쪽 상단과 오른쪽 하단을 연결하는 대각선상의 원소 aij를 대각원소라고 합니다.

그 외의 원소를 비대각원소라고 합니다.

 

2) 대각행렬 (diagonal matrix)

정방행렬에서 비대각원소가 0일때,  그 행렬을 대각행렬이라고 합니다.

a1, a2, ..., an 이 대각행렬의 원소일 때, 대각행렬을 나타내는 방법으로

A = diag {a1, a2,... , an}

이라고 쓸 수 있습니다.

특히, 모든 대각원소가 1인 대각행렬을 단위행렬 또는 항등행렬이라고 합니다.

이 행렬은 I라고 표시합니다.

또한 대각행렬 중에서 대각행렬의 값이 모두 같은 행렬을 스칼라행렬이라고 합니다.

 

3) 삼각행렬 (triangular matrix)

대각선 아래부분의 원소가 모두 0인 행렬을 상삼각행렬(upper triangular matrix)이라고 합니다.

이때 대각원소가 모두 1이면 단위 상삼각행렬(unit upper triangular matrix)이라고 합니다.

같은 방법으로 대각선 위부분의 원소가 모두 0인 행렬을 하삼각행력(lower triangulat matrix)이라고 합니다.

이때 대각원소가 모두 1이면 단위 하삼각행렬(unit lower triangular matrix)이라고 합니다.

 

4) 전치행렬

m x n 행렬 A에서 행과 열을 서로 바꾼 n x m 행렬을 행렬 A의 전치행렬이라고 합니다.

행렬 내에서 원소를 대각선축을 기준으로 서로 위치를 바꾼 것입니다.

 

즉 전치행력은 기존의 행번호가 열번호가 되고, 반대로 열번호는 행번호가 됩니다.

기억해야 할 점은 기존의 배열을 전치행렬로 변환한다면 크기가 변할 수 있다는 것입니다.

3행 2열 배열을 전치행렬로 변환하면 2행 3열의 크기가 됩니다.

5) 대칭행렬

대칭행렬은 전치행렬이 원래의 행렬과 같은 행렬을 말합니다.

이 행렬을 대각원소를 중심으로 원소가 서로 대칭인 행렬입니다.

즉 가로를 세로로 바꾸고 세로를 가로로 바꾸어도 기존과 같은 값이 되는 행렬을 의미합니다.

 

기본적으로 대칭행렬 두 개가 있을 때,

서로 덧셈이나 뺄셈을 수행했을 때 결과 또한 대칭행렬입니다.

그러나 곱셈은 대칭이 아닐 수 있습니다.

덧셈과 뺄셈은 기본적으로 같은 배열 내에 같은 자리에 있는 스칼라끼리의 연산이기 때문에

기존의 형태를 유지할 수 있지만, 곱셈의 경우에는 이러한 성질이 성립하지 않습니다.

 

6) 직교행렬

전치행렬의 곱이 단위행렬이 되는 행렬을 직교행렬이라고 합니다.

 

7) 영행렬

모든 원소가 0으로 된 행렬을 영행렬이라고 합니다. O으로 표시합니다.

 

8) 행렬의 상등

행렬 A와 행렬 B가 같다는 의미는 행렬 A와 행렬 B에 대응하는 원소가 모두 동일하다는 의미입니다.