공간을 이루는 기초 요소 벡터인 기저(Basis)에 대한 개념입니다.
기저는 어떤 공간을 형성하기 위한 기본 재료라 할 수 있고, 공간의 차원(Dimension)을 결정하는 중대한 도구입니다.
선형대수학에서 등장하는 많은 기저와 공간은 서로 밀접한 관계가 있습니다.
(유클리드 공간, 내적 공간, 직교 공간 등)
고등학교 수학에서 벡터 표변을 (4, 2, 3)으로 했다면 대학교 미적분학에서는 이보다 4i+2j+3k 로 하게 되는데
이를 기저를 적극적으로 활용하는 대표적인 예시 입니다.
1. 기저(Basis)
벡터공간 V의 부분집합 b={v1, v2, v3, ..} 에 대해 b가 다음의 두 가지 조건을 모두 만족할 때,
- b = {v1, v2, v3,...}는 일차 독립이다.
- b = {v1, v2, v3, ...} 는 V를 생성한다.
b를 V의 기저(Basis)라고 합니다.
기저가 될 조건은 일차독립이면서 벡터공간 V를 생성하는 것입니다.
벡터공간 V의 임의의 원소를 가리키는 벡터를 항상 선형결합으로 만들 수 있어야 합니다.
일차종속인 벡터들로 이루어진 집합에서 어떠한 벡터공간을 만들었다면 그 집합 차제로는 기저가 될 수 없습니다.
(종속인 벡터가 n개라면, n-1개의 벡터를 제거하면 기저가 될 수 있습니다.)
만약 하나의 벡터를 가지고 있고, 그것의 스칼라 배를 하여 만들수 있는 임의의 벡터에 대해
두 벡터는 일차종속이라고 할 수 있습니다.
임의의 한 벡터만을 가지고 있을 때는 그것을 선형결합 한다고 하더라도 생성할 수 있는 도형이 직선뿐입니다.
그렇다면 어떤 직선 위의 점들이 벡터공간이라고 한다면 그것은 기저벡터 1개로 생성된 공간입니다.
이러한 공간을 1차원이라고 합니다.
그렇다면 독립인 벡터 2개를 가지고 있을 때는 어떠할까요?
그 두 벡터를 선형결합했을 때 어떤 평면 하나를 구할 수 있습니다.
그 평면이 벡터공간이라면 두 벡터는 평면의 기저에 해당합니다.
3차원 공간이라고 한다면 위 그림처럼 세 가지 기저는 한 평면에 존재할 수 있고, 일차 독립이어야 합니다.
우리가 사용하는 x, y, z 축 방향의 임의의 벡터 세 개를 고르면 3차원 실수 공간의 기저가 됩니다.
2. 기저의 특징들
일반적으로 n차원의 공간을 만들기 위해서는 n개의 기저가 필요합니다.
기저를 가지고 있으면 벡터공간을 만들 수 있고, 역으로 벡터 공간이 있다면 그것의 기저가 반드시 있다고 할 수 있습니다.
1) 하나의 벡터 공간의 기저의 개수는 무수히 많다.
기저에 대한 몇 가지 특징이 있습니다.
그중 하나는 하나의 벡터공간의 기저의 개수가 매우 많을 수 있다는 것입니다.
예를 들어 실수 전체 평면 R^2의 기저는 몇 가지가 있을까요?
답은 간단히 평면 상에서 일차독립인 두 벡터를 선택하면 됩니다.
두 벡터는 선형결합하여 실수 평면을 만들 수 있기 때문입니다.
이러한 것들 모두 2차원 실수 평면의 기저에 해당합니다.
이로부터 임의의 기저를 선택했을 경우 그 벡터공간 전부를 나타낼 수 있기 때문에,
이미 뽑은 기저로 다른 무수히 많은 기저들 또한 생성할 수 있게 됩니다.
즉 벡터공간의 한 기저는 그 벡터공간의 기저를 생성합니다.
2) 표준 기저
위에서 한 벡터공간의 기저가 무수히 많을 수 있다고 설명했습니다.
사람들이 통용할 수 있는 가장 간편한 기저를 정했습니다. 이것을 표준 기저라고 합니다.
표준기저는 우리가 계속 사용했던 것입니다.
표준기저란 e1, e2, e3, .. 또는 i, j, k 등으로 나타내는 벡터를 말합니다.
그리고 n차원 공간에서 n개의 서로 독립인 벡터들이 모두 수직관계를 이루고 있는 것입니다.
쉽게 말하면 2차원, 3차원 x, y, z 축을 떠올렸을 때,
x, y, z 축은 서로 수직하고 독립이고, 그 방향으로 크기가 1인 단위벡터가 표준기저에 해당합니다.
3) 기저 정리
다음 정리는 기저의 성질을 보여주고 있습니다.
그리고 기저가 될 필요충분조건을 설명하고 있습니다.
벡터공간 V와 이 공간에 속한 서로 다른 n개의 벡터 v1, v2, v3, ... , vk 에 대하여
집합 b={v1, v2, v3, ...} 의 V의 기저가 될 필요충분조건은 임의의 v가 V 를
b 에 속한 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있고, 그 표현의 유일하다는 것이다.
기저를 이용해 공간의 한 점을 나타내는 방법은 유일해야 한다는 것입니다.
기저의 성질에 의하면 2차원 공간에서 어떠한 두 벡터를 가지고 앞에 적당한 숫자를 붙여 선형결합했을 경우
임의의 벡터를 나타낼 수 있어야 합니다.
한 점을 나타내는 두 가지 선형결합이 존재할 수 없습니다.
그래서 벡터의 표현 방법이 유일해야 기저로 취급할 수 있는 것입니다.
3. 차원
벡터공간 V의 기저 b가 n이 N개의 벡터로 이루어져 있을 때 n은 V의 차원이라고 하고 dim(V)로 나타냅니다.
이때 n은 유일하며 "유한차원"이라고 합니다.
만약 유한차원이 아닌 벡터공간이라면 그것의 차원은 "무한차원"이라고 합니다.
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